Sombrero vs. Volleyball

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Everything after #Why does a Sombrero always win at some monster level? is based on a previous inaccurate approximation of the sombrero formula.

For a more basic analysis, see the Speedrun appendix.

The two most popular stat-gain familiars can be pigeonholed into two categories: volleyballs and sombreros. For an analysis of the best familiar equipment for stat gains while using such familiars, see the Blood-Faced Volleyball and Hovering Sombrero articles. The present page is concerned with comparing volleyballs against sombreros.

New Sombrero Formula

With the new Sombrero Formula, the charts below were rendered inaccurate. The new formula is:

Sqrt(Weight)*[1+Sqrt([Monster Level] - 4)]/10

Setting this equal to the volleyball formula, we get:

Sqrt(Volley Weight) = Sqrt(Sombrero Weight)*[1+Sqrt([Monster Level] - 4)]/10

To find the point where the sombrero is better than the volleyball, We must solve for monster level in terms of the two weights. However, given that we have obtained both familiar equipments, as well as assuming that any equipment/buffs we want can be switched between them (Ex. Wax Lips, Leash of Linguini), and that they are both level 20, we can say that:

Sqrt(Volley Weight) = Sqrt(Sombrero Weight)

Setting that value equal to Y, we find that:

Y = Y[1+sqrt([Monster Level] - 4)]/10

And then, since Y/Y = 1:

10 = 1 + Sqrt[(Monster Level) - 4]

Followed by:

9 = Sqrt[(Monster Level) - 4]

Then:

81 = Monster Level - 4,

And at last:

85 = Monster Level

So, if you are fighting monsters of 85 monster level or higher, bring along your Sombrero as opposed to your equally weighted Volleyball. At what weight does using a sombrero make sense at X monster level, instead of using a Y lb Volleyball? The answer is simple:

Sombrero Weight = 100Y²/(1 + sqrt(X-4)) Where Y is your Volleyball's weight and X is the monster level.

Why does a Sombrero always win at some monster level?

Computer scientists define the growth of a function using Big O notation, which describes the behavior of a function as its argument gets arbitrarily large. In the case of the stat gains for volleyballs and sombreros, volleyball stat gains are constant at a given volleyball weight. They are O(v^1/2) = O(C). However, the sombrero formula contains a non-constant factor in its numerator, the square root of the monster level, so its stat gains are O(m^1/2), where m is the monster level. Since sombrero stat gains always grow as m increases and volleyball stat gains are independent of m, with a large enough m, the sombrero will always outperform the volleyball.

Under extreme conditions, the Wild Hare's ability to provide extra rollover adventures will provide more (net) substats per adventure than either the volleyball or the sombrero because the benefit from the Wild Hare is O(m). Since this requires an infinite supply of level 4000+ monsters, it's really only feasible for high-stat characters fighting against the scaling Fernswarthy's Basement and Crimbo monsters.

Sombrero vs Volleyball

Given an equipment/effect configuration that includes familiar equipment, let v, s, and m be the resulting volleyball and sombrero weights and monster levels respectively.

According to Hovering Sombrero, the sombrero's stat bonus will be (sm)^1/2/10, whereas the volleyball's (see Blood-Faced Volleyball) will be v^1/2.

Next, let w_v, p_v, w_s, p_s be the non-familiar stat bonus due to wax lips (+3 stats) or annoying pitchfork (+1.25), where a maximum of one of w, p for a familiar can be non-zero (a familiar cannot equip more than one article). Given any pairing of volleyball and sombrero weights, the monster level at which the sombrero breaks even with the volleyball satisfies the equation:

v^1/2 + w_v + p_v = (sm)^1/2/10 + w_s + p_s

Letting θ = w_s + p_s - w_v - p_v, the break-even m can be shown to follow the rule:

m = 100(v^1/2 - θ)²/s

The above is subject to the constraint v^1/2 ≥ θ; otherwise the sombrero is always better than the volleyball.

The case of θ ≠ 0 is beyond the scope of this article, as the data tables are already bulky enough for θ = 0. The tables below calculate the monster level at which given effective weights v, s provide the same bonus stats, for wax lips/pitchforks being allocated identically (on both familiars or off both familiars). In particular, we see that for θ = 0 and v = s, the break-even monster level is 100.

Tables

Having trouble reading these tables? Here's how: The vertical row of numbers are Blood-Faced Volleyball weights, in lbs. The horizontal row of numbers are Hovering Sombrero weights. Find both weights (scroll down to the next table for more sombrero weights) and match them up in the middle to find the break-even monster level. This is the monster level (rounded up) where both familiars would provide the same experience. Higher ML ends up increasing the sombrero's superiority.

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#1-10 Pound Sombreros
#11-20 Pound Sombreros
#21-30 Pound Sombreros
#31-40 Pound Sombreros
#41-50 Pound Sombreros
#51-60 Pound Sombreros
#61-70 Pound Sombreros
#71-80 Pound Sombreros
#81-90 Pound Sombreros
#91-100 Pound Sombreros

1-10 Pound Sombrero


BFV\HS	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	100	50	34	25	20	17	15	13	12	10
2	200	100	67	50	40	34	29	25	23	20
3	300	150	100	75	60	50	43	38	34	30
4	400	200	134	100	80	67	58	50	45	40
5	500	250	167	125	100	84	72	63	56	50
6	600	300	200	150	120	100	86	75	67	60
7	700	350	234	175	140	117	100	88	78	70
8	800	400	267	200	160	134	115	100	89	80
9	900	450	300	225	180	150	129	113	100	90
10	1000	500	334	250	200	167	143	125	112	100
11	1100	550	367	275	220	184	158	138	123	110
12	1200	600	400	300	240	200	172	150	134	120
13	1300	650	434	325	260	217	186	163	145	130
14	1400	700	467	350	280	234	200	175	156	140
15	1500	750	500	375	300	250	215	188	167	150
16	1600	800	534	400	320	267	229	200	178	160
17	1700	850	567	425	340	284	243	213	189	170
18	1800	900	600	450	360	300	258	225	200	180
19	1900	950	634	475	380	317	272	238	212	190
20	2000	1000	667	500	400	334	286	250	223	200
21	2100	1050	700	525	420	350	300	263	234	210
22	2200	1100	734	550	440	367	315	275	245	220
23	2300	1150	767	575	460	384	329	288	256	230
24	2400	1200	800	600	480	400	343	300	267	240
25	2500	1250	834	625	500	417	358	313	278	250
26	2600	1300	867	650	520	434	372	325	289	260
27	2700	1350	900	675	540	450	386	338	300	270
28	2800	1400	934	700	560	467	400	350	312	280
29	2900	1450	967	725	580	484	415	363	323	290
30	3000	1500	1000	750	600	500	429	375	334	300
31	3100	1550	1034	775	620	517	443	388	345	310
32	3200	1600	1067	800	640	534	458	400	356	320
33	3300	1650	1100	825	660	550	472	413	367	330
34	3400	1700	1134	850	680	567	486	425	378	340
35	3500	1750	1167	875	700	584	500	438	389	350
36	3600	1800	1200	900	720	600	515	450	400	360
37	3700	1850	1234	925	740	617	529	463	412	370
38	3800	1900	1267	950	760	634	543	475	423	380
39	3900	1950	1300	975	780	650	558	488	434	390
40	4000	2000	1334	1000	800	667	572	500	445	400
41	4100	2050	1367	1025	820	684	586	513	456	410
42	4200	2100	1400	1050	840	700	600	525	467	420
43	4300	2150	1434	1075	860	717	615	538	478	430
44	4400	2200	1467	1100	880	734	629	550	489	440
45	4500	2250	1500	1125	900	750	643	563	500	450
46	4600	2300	1534	1150	920	767	658	575	512	460
47	4700	2350	1567	1175	940	784	672	588	523	470
48	4800	2400	1600	1200	960	800	686	600	534	480
49	4900	2450	1634	1225	980	817	700	613	545	490
50	5000	2500	1667	1250	1000	834	715	625	556	500
51	5100	2550	1700	1275	1020	850	729	638	567	510
52	5200	2600	1734	1300	1040	867	743	650	578	520
53	5300	2650	1767	1325	1060	884	758	663	589	530
54	5400	2700	1800	1350	1080	900	772	675	600	540
55	5500	2750	1834	1375	1100	917	786	688	612	550
56	5600	2800	1867	1400	1120	934	800	700	623	560
57	5700	2850	1900	1425	1140	950	815	713	634	570
58	5800	2900	1934	1450	1160	967	829	725	645	580
59	5900	2950	1967	1475	1180	984	843	738	656	590
60	6000	3000	2000	1500	1200	1000	858	750	667	600
61	6100	3050	2034	1525	1220	1017	872	763	678	610
62	6200	3100	2067	1550	1240	1034	886	775	689	620
63	6300	3150	2100	1575	1260	1050	900	788	700	630
64	6400	3200	2134	1600	1280	1067	915	800	712	640
65	6500	3250	2167	1625	1300	1084	929	813	723	650
66	6600	3300	2200	1650	1320	1100	943	825	734	660
67	6700	3350	2234	1675	1340	1117	958	838	745	670
68	6800	3400	2267	1700	1360	1134	972	850	756	680
69	6900	3450	2300	1725	1380	1150	986	863	767	690
70	7000	3500	2334	1750	1400	1167	1000	875	778	700
71	7100	3550	2367	1775	1420	1184	1015	888	789	710
72	7200	3600	2400	1800	1440	1200	1029	900	800	720
73	7300	3650	2434	1825	1460	1217	1043	913	812	730
74	7400	3700	2467	1850	1480	1234	1058	925	823	740
75	7500	3750	2500	1875	1500	1250	1072	938	834	750
76	7600	3800	2534	1900	1520	1267	1086	950	845	760
77	7700	3850	2567	1925	1540	1284	1100	963	856	770
78	7800	3900	2600	1950	1560	1300	1115	975	867	780
79	7900	3950	2634	1975	1580	1317	1129	988	878	790
80	8000	4000	2667	2000	1600	1334	1143	1000	889	800
81	8100	4050	2700	2025	1620	1350	1158	1013	900	810
82	8200	4100	2734	2050	1640	1367	1172	1025	912	820
83	8300	4150	2767	2075	1660	1384	1186	1038	923	830
84	8400	4200	2800	2100	1680	1400	1200	1050	934	840
85	8500	4250	2834	2125	1700	1417	1215	1063	945	850
86	8600	4300	2867	2150	1720	1434	1229	1075	956	860
87	8700	4350	2900	2175	1740	1450	1243	1088	967	870
88	8800	4400	2934	2200	1760	1467	1258	1100	978	880
89	8900	4450	2967	2225	1780	1484	1272	1113	989	890
90	9000	4500	3000	2250	1800	1500	1286	1125	1000	900
91	9100	4550	3034	2275	1820	1517	1300	1138	1012	910
92	9200	4600	3067	2300	1840	1534	1315	1150	1023	920
93	9300	4650	3100	2325	1860	1550	1329	1163	1034	930
94	9400	4700	3134	2350	1880	1567	1343	1175	1045	940
95	9500	4750	3167	2375	1900	1584	1358	1188	1056	950
96	9600	4800	3200	2400	1920	1600	1372	1200	1067	960
97	9700	4850	3234	2425	1940	1617	1386	1213	1078	970
98	9800	4900	3267	2450	1960	1634	1400	1225	1089	980
99	9900	4950	3300	2475	1980	1650	1415	1238	1100	990
100	10000	5000	3334	2500	2000	1667	1429	1250	1112	1000

11-20 Pound Sombrero


BFV\HS	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	10	9	8	8	7	7	6	6	6	5
2	19	17	16	15	14	13	12	12	11	10
3	28	25	24	22	20	19	18	17	16	15
4	37	34	31	29	27	25	24	23	22	20
5	46	42	39	36	34	32	30	28	27	25
6	55	50	47	43	40	38	36	34	32	30
7	64	59	54	50	47	44	42	39	37	35
8	73	67	62	58	54	50	48	45	43	40
9	82	75	70	65	60	57	53	50	48	45
10	91	84	77	72	67	63	59	56	53	50
11	100	92	85	79	74	69	65	62	58	55
12	110	100	93	86	80	75	71	67	64	60
13	119	109	100	93	87	82	77	73	69	65
14	128	117	108	100	94	88	83	78	74	70
15	137	125	116	108	100	94	89	84	79	75
16	146	134	124	115	107	100	95	89	85	80
17	155	142	131	122	114	107	100	95	90	85
18	164	150	139	129	120	113	106	100	95	90
19	173	159	147	136	127	119	112	106	100	95
20	182	167	154	143	134	125	118	112	106	100
21	191	175	162	150	140	132	124	117	111	105
22	200	184	170	158	147	138	130	123	116	110
23	210	192	177	165	154	144	136	128	122	115
24	219	200	185	172	160	150	142	134	127	120
25	228	209	193	179	167	157	148	139	132	125
26	237	217	200	186	174	163	153	145	137	130
27	246	225	208	193	180	169	159	150	143	135
28	255	234	216	200	187	175	165	156	148	140
29	264	242	224	208	194	182	171	162	153	145
30	273	250	231	215	200	188	177	167	158	150
31	282	259	239	222	207	194	183	173	164	155
32	291	267	247	229	214	200	189	178	169	160
33	300	275	254	236	220	207	195	184	174	165
34	310	284	262	243	227	213	200	189	179	170
35	319	292	270	250	234	219	206	195	185	175
36	328	300	277	258	240	225	212	200	190	180
37	337	309	285	265	247	232	218	206	195	185
38	346	317	293	272	254	238	224	212	200	190
39	355	325	300	279	260	244	230	217	206	195
40	364	334	308	286	267	250	236	223	211	200
41	373	342	316	293	274	257	242	228	216	205
42	382	350	324	300	280	263	248	234	222	210
43	391	359	331	308	287	269	253	239	227	215
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21-30 Pound Sombrero


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31-40 Pound Sombrero


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41-50 Pound Sombrero


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51-60 Pound Sombrero


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61-70 Pound Sombrero


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71-80 Pound Sombrero


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81-90 Pound Sombrero


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91-100 Pound Sombrero


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