Sombrero vs. Volleyball

The Hermit humbly requests that this page be rewritten or expanded. The tables are based on a previous inaccurate approximation of the sombrero formula.

For a more basic analysis, see the Speedrun appendix.

The two most popular stat-gain familiars can be pigeonholed into two categories: volleyballs and sombreros. For an analysis of the best familiar equipment for stat gains while using such familiars, see the Blood-Faced Volleyball and Hovering Sombrero articles. The present page is concerned with comparing volleyballs against sombreros.

New Sombrero Formula

With the new Sombrero Formula, the charts below were rendered inaccurate. The new formula is:

Sqrt(Weight)*[1+Sqrt([Monster Level] - 4)]/10

Setting this equal to the volleyball formula, we get:

Sqrt(Volley Weight) = Sqrt(Sombrero Weight)*[1+Sqrt([Monster Level] - 4)]/10

To find the point where the sombrero is better than the volleyball, We must solve for monster level in terms of the two weights. However, given that we have obtained both familiar equipments, as well as assuming that any equipment/buffs we want can be switched between them (Ex. Wax Lips, Leash of Linguini), and that they are both level 20, we can say that:

Sqrt(Volley Weight) = Sqrt(Sombrero Weight)

Setting that value equal to Y, we find that:

Y = Y[1+sqrt([Monster Level] - 4)]/10

And then, since Y/Y = 1:

10 = 1 + Sqrt[(Monster Level) - 4]

Followed by:

9 = Sqrt[(Monster Level) - 4]

Then:

81 = Monster Level - 4,

And at last:

85 = Monster Level

So, if you are fighting monsters of 85 monster level or higher, bring along your Sombrero as opposed to your equally weighted Volleyball. At what weight does using a sombrero make sense at X monster level, instead of using a Y lb Volleyball? The answer is simple:

Sombrero Weight = 100Y/(1 + sqrt(X-4))² Where Y is your Volleyball's weight and X is the monster level.

To determine at what monster level a certain weight volleyball is equal to a certain weight sombrero you can use the following formula:

Monster Level = (sqrt(100Y/S)-1)² + 4 Where Y is your Volleyball's weight and S Sombrero's weight.

Why does a Sombrero always win at some monster level?

Computer scientists define the growth of a function using Big O notation, which describes the behavior of a function as its argument gets arbitrarily large. In the case of the stat gains for volleyballs and sombreros, volleyball stat gains are constant at a given volleyball weight. They are O(v^1/2) = O(C). However, the sombrero formula contains a non-constant factor in its numerator, the square root of the monster level, so its stat gains are O(m^1/2), where m is the monster level. Since sombrero stat gains always grow as m increases and volleyball stat gains are independent of m, with a large enough m, the sombrero will always outperform the volleyball.

Under extreme conditions, the Wild Hare's ability to provide extra rollover adventures will provide more (net) substats per adventure than either the volleyball or the sombrero because the benefit from the Wild Hare is O(m). Since this requires an infinite supply of level 4000+ monsters, it's really only feasible for high-stat characters fighting against the scaling Fernswarthy's Basement and Crimbo monsters.

Sombrero vs Volleyball

Given an equipment/effect configuration that includes familiar equipment, let v, s, and m be the resulting volleyball and sombrero weights and monster levels respectively.

As above, the sombrero's stat bonus will be s^1/2(1+(m-4)^1/2)/10, whereas the volleyball's (see Blood-Faced Volleyball) will be v^1/2.

So, given any pairing of volleyball and sombrero weights, the monster level at which the sombrero breaks even with the volleyball satisfies the equation:

v^1/2 = s^1/2(1+(m-4)^1/2)/10

Letting q = v/s, the break-even m can be shown to follow the rule:

m = 100 q - 20 q^1/2 + 5

Example: When the volleyball/sombrero weights are equal, q=1, so this formula reduces to m=100-20+5=85, as in the first section.

Example: Suppose we want to compare a Llama Lama's stat-gains to the stat-gains from an equal-weight sombrero-type (say, a Baby Sandworm). The llama has the stat gain of a volleyball of half its weight, so q=1/2. This means that m=100(1/2)-20(1/2)^1/2+5=55-20(1/2)^1/2=40.85. (Of course, this isn't the whole story, since a glimmering roc feather gives stats and agua de vida doesn't, but it means that llamas are generally preferable to sandworms at least when fighting monsters of level 40 or below.)

Example: Say we want to compare a Frumious Bandersnatch with its appropriately tuned equipment to a sombrero, and that we only care about the familiar's effect on our main stat. To make our lives easier, we'll say that the sombrero has the same weight as the bandersnatch after equipment is taken into account. A bandersnatch gives double the main stat experience as a same-weight volleyball; if you look at the volleyball-weight formula, you'll see that this means it's like a volleyball that's four times as heavy (it gives 2(v^1/2)=(4v)^1/2 experience at weight v). So q=4, which means m=100(4)-20(4)^1/2+5=365. That is, the sombrero only starts matching an equal-weight bandersnatch at monster level 365, which is unlikely to occur very often in an ascension context.

Tables

Having trouble reading these tables? Here's how: The vertical row of numbers are Blood-Faced Volleyball weights, in lbs. The horizontal row of numbers are Hovering Sombrero weights. Find both weights (scroll down to the next table for more sombrero weights) and match them up in the middle to find the break-even monster level. This is the monster level (rounded up) where both familiars would provide the same experience. Higher ML ends up increasing the sombrero's superiority.

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1-10 Pound Sombrero

BFV\HS	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	85	40	26	20	16	13	11	10	9	8
2	176	85	55	40	32	26	22	20	17	16
3	270	130	85	62	49	40	34	30	26	24
4	365	176	115	85	67	55	47	40	36	32
5	460	223	145	107	85	70	59	51	45	40
6	556	270	176	130	103	85	72	62	55	49
7	652	317	207	153	121	100	85	73	65	58
8	748	365	239	176	139	115	97	85	75	67
9	845	412	270	200	158	130	110	96	85	76
10	941	460	301	223	176	145	123	107	95	85
11	1038	508	333	246	195	161	137	119	105	94
12	1135	556	365	270	214	176	150	130	115	103
13	1232	604	396	293	232	192	163	142	125	112
14	1330	652	428	317	251	207	176	153	135	121
15	1427	700	460	341	270	223	190	165	145	130
16	1525	748	492	365	289	239	203	176	156	139
17	1622	796	524	388	308	254	216	188	166	148
18	1720	845	556	412	327	270	230	200	176	158
19	1817	893	588	436	346	286	243	211	187	167
20	1915	941	620	460	365	301	256	223	197	176
21	2013	990	652	484	384	317	270	235	207	186
22	2111	1038	684	508	403	333	283	246	218	195
23	2209	1087	716	532	422	349	297	258	228	204
24	2307	1135	748	556	441	365	310	270	239	214
25	2405	1184	780	580	460	380	324	282	249	223
26	2503	1232	812	604	479	396	337	293	259	232
27	2601	1281	845	628	498	412	351	305	270	242
28	2699	1330	877	652	517	428	365	317	280	251
29	2797	1378	909	676	536	444	378	329	291	260
30	2895	1427	941	700	556	460	392	341	301	270
31	2993	1476	974	724	575	476	405	353	312	279
32	3091	1525	1006	748	594	492	419	365	322	289
33	3190	1573	1038	772	613	508	433	376	333	298
34	3288	1622	1071	796	632	524	446	388	343	308
35	3386	1671	1103	820	652	540	460	400	354	317
36	3485	1720	1135	845	671	556	473	412	365	327
37	3583	1768	1168	869	690	572	487	424	375	336
38	3681	1817	1200	893	709	588	501	436	386	346
39	3780	1866	1232	917	729	604	514	448	396	355
40	3878	1915	1265	941	748	620	528	460	407	365
41	3976	1964	1297	965	767	636	542	472	417	374
42	4075	2013	1330	990	787	652	556	484	428	384
43	4173	2062	1362	1014	806	668	569	496	439	393
44	4272	2111	1395	1038	825	684	583	508	449	403
45	4370	2160	1427	1062	845	700	597	520	460	412
46	4469	2209	1460	1087	864	716	610	532	470	422
47	4567	2258	1492	1111	883	732	624	544	481	431
48	4666	2307	1525	1135	903	748	638	556	492	441
49	4765	2356	1557	1160	922	764	652	568	502	450
50	4863	2405	1590	1184	941	780	665	580	513	460
51	4962	2454	1622	1208	961	796	679	592	524	469
52	5060	2503	1655	1232	980	812	693	604	534	479
53	5159	2552	1687	1257	999	828	707	616	545	488
54	5258	2601	1720	1281	1019	845	720	628	556	498
55	5356	2650	1752	1305	1038	861	734	640	566	508
56	5455	2699	1785	1330	1058	877	748	652	577	517
57	5554	2748	1817	1354	1077	893	762	664	588	527
58	5652	2797	1850	1378	1096	909	776	676	598	536
59	5751	2846	1882	1403	1116	925	789	688	609	546
60	5850	2895	1915	1427	1135	941	803	700	620	556
61	5948	2944	1948	1451	1155	957	817	712	630	565
62	6047	2993	1980	1476	1174	974	831	724	641	575
63	6146	3042	2013	1500	1194	990	845	736	652	584
64	6245	3091	2045	1525	1213	1006	858	748	662	594
65	6343	3140	2078	1549	1232	1022	872	760	673	604
66	6442	3190	2111	1573	1252	1038	886	772	684	613
67	6541	3239	2143	1598	1271	1054	900	784	694	623
68	6640	3288	2176	1622	1291	1071	914	796	705	632
69	6738	3337	2209	1646	1310	1087	927	808	716	642
70	6837	3386	2241	1671	1330	1103	941	820	727	652
71	6936	3435	2274	1695	1349	1119	955	832	737	661
72	7035	3485	2307	1720	1369	1135	969	845	748	671
73	7134	3534	2339	1744	1388	1151	983	857	759	680
74	7232	3583	2372	1768	1408	1168	997	869	769	690
75	7331	3632	2405	1793	1427	1184	1010	881	780	700
76	7430	3681	2437	1817	1447	1200	1024	893	791	709
77	7529	3730	2470	1842	1466	1216	1038	905	802	719
78	7628	3780	2503	1866	1486	1232	1052	917	812	729
79	7727	3829	2535	1891	1505	1249	1066	929	823	738
80	7826	3878	2568	1915	1525	1265	1080	941	834	748
81	7925	3927	2601	1940	1544	1281	1094	953	845	758
82	8023	3976	2633	1964	1564	1297	1107	965	855	767
83	8122	4026	2666	1988	1583	1313	1121	978	866	777
84	8221	4075	2699	2013	1603	1330	1135	990	877	787
85	8320	4124	2731	2037	1622	1346	1149	1002	887	796
86	8419	4173	2764	2062	1642	1362	1163	1014	898	806
87	8518	4223	2797	2086	1661	1378	1177	1026	909	816
88	8617	4272	2830	2111	1681	1395	1191	1038	920	825
89	8716	4321	2862	2135	1700	1411	1205	1050	930	835
90	8815	4370	2895	2160	1720	1427	1219	1062	941	845
91	8914	4420	2928	2184	1739	1443	1232	1075	952	854
92	9013	4469	2960	2209	1759	1460	1246	1087	963	864
93	9112	4518	2993	2233	1778	1476	1260	1099	974	874
94	9211	4567	3026	2258	1798	1492	1274	1111	984	883
95	9310	4617	3059	2282	1817	1508	1288	1123	995	893
96	9409	4666	3091	2307	1837	1525	1302	1135	1006	903
97	9508	4715	3124	2331	1856	1541	1316	1147	1017	912
98	9607	4765	3157	2356	1876	1557	1330	1160	1027	922
99	9706	4814	3190	2380	1896	1573	1344	1172	1038	932
100	9805	4863	3222	2405	1915	1590	1357	1184	1049	941

11-20 Pound Sombrero

BFV\HS	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	8	7	7	6	6	6	6	5	5	5
2	14	13	12	11	11	10	9	9	9	8
3	21	20	18	17	16	15	14	13	12	12
4	29	26	24	22	21	20	18	17	16	16
5	36	33	31	28	26	25	23	22	21	20
6	44	40	37	34	32	30	28	26	25	24
7	52	48	44	40	38	35	33	31	29	28
8	60	55	50	47	43	40	38	36	34	32
9	68	62	57	53	49	46	43	40	38	36
10	76	70	64	59	55	51	48	45	43	40
11	85	77	71	65	61	57	53	50	47	45
12	93	85	78	72	67	62	58	55	52	49
13	101	92	85	78	73	68	63	60	56	53
14	109	100	91	85	79	73	69	65	61	58
15	118	107	98	91	85	79	74	70	66	62
16	126	115	105	97	91	85	79	75	70	67
17	134	122	112	104	97	90	85	80	75	71
18	143	130	119	110	103	96	90	85	80	76
19	151	138	126	117	109	101	95	90	85	80
20	159	145	134	123	115	107	100	95	89	85
21	168	153	141	130	121	113	106	100	94	89
22	176	161	148	137	127	119	111	105	99	94
23	185	168	155	143	133	124	117	110	104	98
24	193	176	162	150	139	130	122	115	108	103
25	202	184	169	156	145	136	127	120	113	107
26	210	192	176	163	152	142	133	125	118	112
27	219	200	183	170	158	147	138	130	123	116
28	227	207	191	176	164	153	144	135	128	121
29	236	215	198	183	170	159	149	140	132	125
30	244	223	205	190	176	165	154	145	137	130
31	253	231	212	196	182	170	160	150	142	135
32	261	239	219	203	189	176	165	156	147	139
33	270	246	226	210	195	182	171	161	152	144
34	278	254	234	216	201	188	176	166	157	148
35	287	262	241	223	207	194	182	171	162	153
36	296	270	248	230	214	200	187	176	166	158
37	304	278	255	236	220	205	193	181	171	162
38	313	286	263	243	226	211	198	187	176	167
39	321	293	270	250	232	217	204	192	181	172
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21-30 Pound Sombrero

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31-40 Pound Sombrero

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100	291	282	273	264	256	249	242	235	229	223

41-50 Pound Sombrero

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100	217	212	207	202	197	192	188	184	180	176

51-60 Pound Sombrero

BFV\HS	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
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61-70 Pound Sombrero

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71-80 Pound Sombrero

BFV\HS	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
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81-90 Pound Sombrero

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91-100 Pound Sombrero

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